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METODOS NUMERICOS

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DERIVACIÓN NUMÉRICA

 

Introducción:

 600px-Integral_exampleDe muchas funciones con las que se trabaja en la práctica no se conoce suexpresión analítica y tan sólo se dispone de su valor en un conjunto de puntos (llamado soporte por analogía con la terminología utilizada en los temas de interpolación). No obstante, en ocasiones es necesario proceder al cálculo delvalor de alguna derivada de tales funciones en un punto concreto. Es obvio que en este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada (pues se desconoce la expresión de la función). Surge así la conveniencia de diseñar métodos numéricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una función en algún punto a partir del conocimiento de los valores de la función en un soporte dado.

Los métodos que están desarrollados con este fin muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresión analítica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante fórmulas numéricas suficientemente precisas. Ejemplo de ello son el método de la secante o, más generalmente, los métodos de cuasi – Newton detallados en el estudio de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

Es más, muchas de las técnicas de derivación numérica que se abordarán en este tema están en la base de diferentes métodos utilizados para la resolución de ecuaciones diferenciales, es decir de ecuaciones en las que intervienen derivadas de funciones “incógnita”. Es el caso, por ejemplo, de los llamados métodos en diferencias finitas.

La principal idea que subyace en las técnicas de derivación numérica está muy vinculada a la interpolación y se podría resumir en lo siguiente: Si de una función f(x) se conocen sus valores en un determinado soporte de puntos, puede “aproximarse” la función f(x) por otra función p(x) que la interpole en dicho soporte y sustituir el valor de las derivadas de f(x) en un punto x* por el valor de las correspondientes derivadas de p(x) en dicho punto x*. Esta idea tan simple deberá sin embargo ser analizada con detalle pues su aplicación sin mayores consideraciones puede conducir a errores no admisibles.

Puesto que entre las distintas técnicas de interpolación existentes se han abordado en temas precedentes las técnicas de interpolación polinómica de Lagrange, nos centraremos aquí en las fórmulas obtenidas a partir de esta forma de interpolar. No obstante conviene indicar que para otras técnicas de interpolación podrían diseñarse técnicas de derivación numérica de forma análoga a como se plantearán las recogidas en este tema.

Definiciòn:

Se denomina fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio (de Lagrange) para aproximar derivadas de primer orden a cualquier fórmula obtenida derivando una vez la expresión del polinomio interpolador de Lagrange construido sobre un soporte de (n+1) puntos distintos.

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